بسم الله الرحمان الرحيم

اخي الكريم ، اختي الكريمة


ساقدم لكم اليوم ان شاء الله عُصارةً للجذع المشترك


و ذلك عن طريق دروس شاملة


لذلك قدِّروا مجهودي و لا تبخلوا علي بالردود


"ساضع الدروس واحدة واحدة و ليس في نفس اليوم لان ذلك عسير جدا

لذا ساضع درسا او اثنين في اليوم"

على بركة الله







1-الرياضيات





مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية و مبادئ في الحسابيات










القدرات المنتظرة







*- توظيف الزوجية وتفكيك عدد إلى جداء عوامل أولية في حل بعض المسائل البسيطة

حول الأعداد الصحيحة الطبيعية.



-I-مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية :




-1 مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية:


*نشاط*



من بين الأعداد التالية حدد تلك التي تمثل أعدادا صحيحة طبيعية:




5 ; 4+16 ; 5/2 ; 12-23 ; 15/3 ; 2.15

*تعريف*

الأعداد 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , .... , n ;تسمى أعدادا صحيحة طبيعية و
تكون مجموعة تسمى مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية نرمز لها ب .N



نكتب ( 0 , 1 , 2 , ....)=N



مصطلحات و ترميز

*- العدد 0 يسمى العدد الصحيح الطبيعي المنعدم
*- مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية الغير المنعدمة نرمز لها بالرمز *N





2-الأعداد الزوجية – الأعداد الفردية:






*تعريف*


- نقول إن العدد الصحيح الطبيعي a عدد زوجي إذا وفقط آان يوجد عدد صحيح
طبيعي k حيث : a=2k-نقول إن العدد الصحيح الطبيعي a عدد فردي إذا وفقط آان
يوجد عدد صحيح طبيعي k حيث a=2k+1


*أمثلة*



الأعداد 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , .. أعداد زوجية


الأعداد 1 , 3 , 5 , 7 , 9 .....أعداد فردية

*ملاحظات*


*- العدد الصحيح الطبيعي هو إما عدد زوجي أو عدد فردي

*- مجموع عددين زوجيين هو عدد زوجي
*-مجموع عددين فرديين هو عدد زوجي
*-مجموع عدد زوجي و عدد فردي هو عدد فردي

II- مضاعفات عدد – قواسم عدد :





1-مضاعفات عدد:

*تعريف*

ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين حيث b غير منعدم

نقول إن العدد a مضاعف للعدد b إذا وفقط إذا وجد عدد صحيح طبيعي k حيث a=bk
*أمثلة*

- الأعداد 0 , 5 , 10 , 15 ... 1755 مضاعفات للعدد 5

-22 ليس مضاعف للعدد 4
* ليكن b عنصراً من *N

0×k =0

مضاعفات b هي الأعداد kb حيث k ينتمي الى N

*خاصية*

* لكل عدد صحيح طبيعي غير منعدم ما لنهاية من المضاعفات

* للعدد 0 مضاعف وحيد هو 0*المضاعف المشترك الأصغر*
ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين
المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b هو أصغر مضاعف مشترك غير منعدم للعددين a و b نرمز له بالرمز ppcm




أمثلة

ppcm (4;9) = 36
ppcm (6;10)=30

-2قواسم عدد:


*تعريف*


ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين حيث b غير منعدم

نقول إن العدد b قاسم للعدد a إذا وفقط إذا وجد عدد صحيح طبيعي k حيث a=bk

*ملاحظة*


العدد b قاسم للعدد a إذا وفقط إذا العدد a مضاعف للعدد b


-آلعدد آلصحيح آلطبيعي غير منعدم مخالفا ل 1 له على الاقل قاسمان 1 و نفسه
- للعدد 1 قاسم وحيد هو نفسه
-جميع الأعداد الصحيحة الطبيعية الغير المنعدمة تقسم 0

نقول أيضا العدد a قابل للقسمة على b

*القاسم المشترك الأآبر لعددين*

تعريف:


ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين

القاسم المشترك الأآبر للعددين a و b هو اآبر قاسم مشترك لهما
نرمز له بالرمز pgcd


مثال:

pgcd(126;90)=18
pgcd(4;9)=1

III-الأعداد الأولية :





1- تعريف:

نسمي عددا أوليا آل عدد صحيح طبيعي له قاسمان بالضبط

*أمثلة*


-حدد الأعداد الأولية الأصغر من 40الأعداد الأولية الأصغر من 40 هي: 2,3,7,11,13,17,19,23,29,31,37





2-التفكيك إلى جداء عوامل أولية لعدد غير أولي مبرهنة (مقبولة):

كل عدد صحيح طبيعي n هو عدد أولي أو جداء عوامل أولية .

أمثلة:




تعريف:

41 عدد أولي
72 عدد غير أولي و 72 = 8×9 = 3×3×2×2×2

ليكن a عددا صحيحا طبيعيا غير أولي

كتابة a على شكل جداء عوامله أولية تسمى " التفكيك إلى جداء عوامل أولية" للعدد a


فكك الأعداد 24;319;1344 إلى جداء عوامل أولية

أمثلة:




24=8×3=2×2×2×3
319=11×29
1344=4×4×4×21=2×2×2×2×2×2×3×7

تقنية للتفكيك


-لتفكيك عدد صحيح طبيعي غير منعدم a نأخذ اصغر عدد أولي يقسم a و ننجز
القسمة فنحصل على عدد b خارج القسمة فنأخذ اصغر عدد أولي يقسم b فنحصل على
خارج القسمة .......و نتابع على هذا المنوال حتى نحصل على خارج يساوي 1 .


العدد a سيكون هو جداء جميع الأعداد الأولية التي قسمنا بها .




إضافات





* طريقة لتحديد المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b حيث a>b



أحدد مضاعفات a ثم أتآكد بالتتابع ابتداء من أصغر مضاعف غير منعدم للعدد a
هل هو مضاعف للعدد b , فإذا آان الجواب لا ، أتابع البحث إن آان نعم ،
أتوقف و العدد الذي حصلت فيه على هذا الجواب هو المضاعف المشترك الأصغر
للعددين a و b .

**طريقة لتحديد القاسم المشترك الآكبر للعددين a و b حيث a>b


أحدد قواسم العدد b ثم أتآكد بالتتابع تناقصيا ابتداء من أآبر قاسم للعدد b
هل هو قاسم للعدد a فإذا آان الجواب لا ، أتابع البحث ان آان نعم ، أتوقف و
العدد الذي حصلت فيه على هذا الجواب هو القاسم المشترك الأآبر للعددين a و
b .

***طريقة لتحديد ما إذا كان العدد a أوليا أم لا
نحدد أولا جميع الأعداد الأولية p حيث p×p
-إذا كان a يقبل القسمة على أحد هذه الأعداد فان a غير أولي
-إذا كان a لا يقبل القسمة على أي عدد من هذه الأعداد فان a أولي

الترتيب في IR


*تعريف:


ليكن a و b عددين حقيقيين
a>b يعني a-b>0
a<0

* خاصيات و نتائج:

ليكن a و b و c و d أعداد حقيقية

إذاكان a>b و b>c فان a>c











x,b,a أعداد حقيقية حيث a≤x≤b

a+b/2 قيمة مقربة للعدد x بالدقة a-b/2


*المجالات:


مجموعة الاعداد


حيث: ترميزها قراءة و تمثيل على المستقيم X الحقيقية



a;b] a≤x≤b







a;b[ a≺x≺b







a;b[ a≤x≺b




a;b] a≺x≤b



a;+∞[ a≤x


a;+∞[ a≺x

]−∞,b] x ≤ b

]−∞;b[ x ≺ b

b مفتوح في b ، يقرأ المجال ناقص لانهاية



*القيمة المطلقة :

-ليكن Δ(O;I مستقيما مدرجا
القيمة المطلقة لكل عدد حقيقي x هي المسافة بين النقطة M التي أفصولها x و النقطة o .











إذاكان a>b فان a+c>b+c
إذاكان a> b و c>d فان a+c>b+d

إذاكان a>b و c>0 فان ac>bc
إذاكان a>b و c<0 فان ac

إذاكان a>b>0 فان a2>b2
إذاكان 0















يقرأ المجال المغلق الذي طرفاه a و b






يقرأ المجال المفتوح الذي طرفاه a وb






يقرأ المجال المفتوح على اليمين الذي طرفاه a و b


يقرأ المجال المفتوح على اليسار الذي طرفاه a و b

يقرأ المجال زائد ما لانهاية مغلق في a

يقرأ المجال زائد ما لانهاية مفتوح في a
مغلق في b ، يقرأ المجال ناقص لانهاية





ليكن x من IR

إذاكان x>0 فان x=x
إذاكان x<0 فان x=-x

الحدوديات










1-الحدودية:آتابة و مصطلحات – تساوي حدوديتين:





لتكن الأعداد x و x+3 و x+5 أبعاد متوازي المستطيلات و (V(x










حدد (V(x

V(x)=x(x+3)(x+5)=x²+8x2+15x




التعبير x²+8x2+15x يسمى تعبيرا حدوديا أو حدودية.

x² هو الحد الذي له أآبر أس( هذا الأس هو 2 ) نقول إن درجة الحدودية
V(x هو 2
نكتب d° (V(x))= 3


*- كل تعبير على شكل² ax حيث x متغير حقيقي و a عدد حقيقي و n عدد صحيح
طبيعي يسمى حدية إذا كان a ≠0 درجة الحدية ax² هو n و درجة الحدية a هو 0.



الحدية المنعدمة لا درجة لها


*- الحدودية هي آل تعبير على شكل مجموع تكون جميع حدوده حديات



-تعاريف:



لتكن P(x حدودية مختصرة و غير منعدمة. درجة P(x هي درجة الحد الذي له أكبر درجة نرمز لها بالرمز d° (P(x)



تكون حدوديتان ،مختصرتان غير منعدمتين ، متساويتين إذا آانت لهما نفس الدرجة و كانت معاملات حدودها من نفس الدرجة متساوية مثنى مثنى.

*- كل حدودية من الدرجة الأولى تسمى حدانية و تكتب على شكل
b∈IR;a∈IR
*- الحدودية من الدرجة الثانية تسمى ثلاثية الحدود و تكتب على شكل (b;c)∈IR2 a∈IR

-خاصيات:


-مجموع حدوديتين P و Q هو حدودية يرمز لها ب P+Q

-فرق حدوديتين P و Q هو حدودية يرمز لها بP-Q
-جداء حدوديتين P وQ هو حدودية يرمز لها بP×Q

تتمة... درس الحدوديات








1-جذر حدودية:

-لتكن (P(x حدودية و a عددا حقيقيا
نقول إن العدد a جدر للحدودية (P(x إذا كان P (α ) =0

2- القسمة على (x-a ) :





لتكن ( P(x حدودية درجتها n حيث n ≥1 و a عدداحقيقيا .

توجد حدودية وحيدة (Q(x درجتها n-1




حيث ( P(x)=(x-a)Q(x)+P(a

Q(x خارج القسمة الاقليدية للحدودية (P(x على x-a
P (α باقي القسمة الاقليدية للحدودية ( P(x على x-a


3- قابلية القسمة على على x-a :








لتكن ( P(x حدودية درجتها n حيث n ≥1 و a عددا حقيقيا .

نقول إن ( P(x تقبل القسمة على x-a إذا وجدت حدودية (Q(x درجتها

n-1 حيث( P(x)=(x-a)Q(x





ملاحظة: P(α ) =0


***نتيجة:

لتكن ( P(xحدودية درجتها n حيث n ≥1 و a عددا حقيقيا

نقول إن (P(x تقبل القسمة على x-a إذا و فقط إذا كان a جذرا


للحدودية (P(x

الإحصاء


I- مصطلحات و تعاريف:








1- الساكنة الإحصائية:

السآكنة الإحصائية هي المجموعة التي تخضع لدراسة إحصائية

وكل عنصر من هذه المجموعة يسمى فردا أو وحدة إحصائية.


-ميزة إحصائية أو المتغير الإحصائي:


ميزة إحصائية هي الخاصية موضوع الدرس,فهي آمية أو آيفية.


*ميزة كمية هي التي تترجم عدديا .


أمثلة:


القامة- المحصول الفلاحي- استهلاك الماء........


ميزة كيفية هي التي لا تترجم إلى عدد .


أمثلة:


فصيلة الدم - الجنس..............................


ملاحظة:


الميزة الكمية فهي متقطعة فتأخذ قيما أو متصلة فيعبر عنها بالأصناف.





2- الحصيص و الحصيص المتراآم – التردد و التردد المتراكم:

*الحصيص:


الحصيص ni الموافق لقيمة الميزة xi هو العدد المرات لتي تتكرر فيها القيمة xi



**الحصيص المتراكم:


الحصيص المتراآم الموافق لقيمة الميزة xi هو العدد Ni حيث :


Ni=n1+n2+n3+...+ni





حيث n1 و n2 و .....و ni هي حصيصات القيم التي أصغر أو تساوي xi

***الحصيص الإجمالي:

الحصيص الإجمالي N هو مجموع جميع الحصيصات.


****التردد:


التردد fi الموافق للقيمة الميزة xi أو الصنف Ii هو العدد fi=ni/N





ملاحظة: مجموع جميع الترددات يساوي 1.

*****التردد المتراكم:

fi الموافق للقيمة الميزة xi أو الصنف Ii هو: Fi=f1+f2+...+fi


******النسبة المئوية:


النسبة المئوية Pi الموافق للقيمة الميزة xi أو الصنف Ii هي Pi=100fi



حيث fi التردد الموافق ل xi أو Ii.

- مجموعة الأزواج (xi;ni) تسمى متسلسلة احصائية حيث ni الحصيص الموافق للقيمة xi .


-IIوسيطات الوضع:






1- المنوال:

منوال متسلسلة إحصائية هو آل قيمة أو صنف أو نوع له أكبر حصيص.




2- القيمة الوسطية:

لتكن متسلسلة ذات ميزة كمية و M عدد حقيقي يحقق الخاصية التالية :

نصف وحدات الساكنة الإحصائية على الأقل تأخذ فيها الميزة قيمة أصغر


من أو تساوي M و نصف وحدات الساكنة الإحصائية على الأقل تأخذ فيها


الميزة قيمة أآبر من أو تساوي M.





ب- مبرهنة:

-أصغر قيم الميزة التي حصيصها المتراآم أآبر من أو يساوي نصف

الحصيص الإجمالي هي قيمة وسطية في متسلسلة غير معبر عنها بالأصناف.


-لتكن ([ai−1;ai[;ni) متسلسلة معبر عنها بالأصناف و Ni الحصيص


المتراكم الموافق لصنف [ ai-1:;a[


3-المعدل الحسابي:


لتكن (xP;nP) ;..........(x2;n2);(x1;n) متسلسلة إحصائية


حيث xi هو قيمة الميزة و ni هو الحصيص الموافق ل xi.





الوسط أو المعدل الحسابي هو العدد :

x=x1n1+x2n2+x3n3+..+xini/n1+n2+...+ni




لتكن x المعدل الحسابي لمتسلسلة حصيصها الاجمالي N و x' المعدل

الحسابي لمتسلسلة أخرى حصيصها الاجمالي N'




المعدل الحسابي للمتسلسة المكونة من تجميع المتسلسلتين هو:

Nx+ n'x'/N+N'


4-وسيطات التشتت:



a-الانحراف المتوسط:


الانحراف المتوسط لمتسلسلة إحصائية xi;ni) 1≤i≤p) هو العدد :


P=Σni/xi-x/(i=1)/N





حيث x المعدل الحسابي و N الحصيص الإجمالي.

b-الانحراف الطرازي و المغايرة:

مغايرة متسلسلة إحصائية xi;ni)1≤i≤p) هو العدد :


v=1/NΣ(i=1) ni(xi-x


**إذا كانت المتسلسلة معبرا عنها بالأصناف فنعتبر xi قيمةالصنف.**

النظمات


I- معادلات من الدرجة الأولى بمجهولين:



كل معادلة على شكل ax + by +c =0 حيث a و b و c أعداد حقيقية معلومة هي معادلة من الدرجة الأولى بمجهولين حل المعادلة

ax + by +c =0 هو إيجاد جميع الأزواج التي تحققها.

*تمرين:


حل في IR المعادلات :





2x+y−1=0 ; 2y+4=0 ; 3x−1=0

– II النظمات :


نسمي نظمة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين آل نظمة من شكل:


ax+by=c
a'x+b'y=c




حيث a و b و a' و b' أعداد حقيقية .

العدد ab'− a'b يسمى محددة النظمة نرمز له ب
a b
a' b
* إذا كان ab'−a'b ≠0 فان النظمة تقبل حلا وحيدا

**إذا كان ac'−a'c=0 و b'c−bc'=0 فان S هي مجموعة حلول المعادلة ax+by =c


*** إذا كان ac'−a'c≠0 أو b'c−bc'≠0 فان S = ∅n



-IIالمتراجحات من الدرجة الأولى بمجهولين:






1- إشارة : ax + by +c



ax + by + c ≺0

كل مستقيم (D) معادلته ax + by +c =0 يحدد في المستوى نصفي مستوى مفتوحين P1 و P2 .أحدهما هو مجموعة النقط (M (x;y حيث


و الأخرهو مجموعة النقط (M (x;y حيث ax + by + c >0

* لتحديد إشارة ax +by +c يكفي تحديدها من أجل زوج (x0;y0) إحداثيتي نقطة A
من المستوى لا تنتمي إلى(D) نصف المستوى الذي يحتوي على A و حافته (D) هو
مجموعة النقط (M (x;y التي تكون فيه إشارة ax +by +c هي إشارة ax0+by0+c
.و نصف المستوى الآخر هو مجموعة النقط (M (x;y التي آون فيه إشارة ax +by
+c هي عكس إشارة ax0+by0+c .

المستقيم في المستوى


I -معلم مستوى – احداثيتا نقطة – تساوي متجهتين – شرط استقامية متجهتين:








1-معلم – إحداثيتا نقطة:


*نشاط:


لتكن I و J و O ثلاث نقط غير مستقيمية و M نقطة من المستوى و P


1-أنشئ الشكل.


مسقطها على (OI) بتواز مع (OJ) و Q مسقطها على (OJ) بتواز مع OI)
2-باعتبار x أفصول P بالنسبة للمعلم (O;I) و y أفصول Q بالنسبة للمعلم
(O;J) أكتب OM (المتجهة OM) بدلالة x و y و المتجهتين OI و OJ .



تعريف1 :

كل ثلاث نقط غير مستقيمية و I و J و O تحدد معلما في المستوى

نرمز له ب (O;I;J) أو (O;OI;OJ) (متجهات)


ترميز و مصطلحات:


* المستقيم (OI) يسمى محور الأفاصيل .


*المستقيم (OJ) يسمى محور الأراتيب.


*إذا كان (OI) ⊥ (OJ ) فان (O;OI;OJ) يسمى معلما متعامدا .


*إذا كان (OI) ⊥ (OJ ) و OI=OJ فان (O;OI;OJ) يسمى معلما


متعامدا ممنظما.


تعريف 2 :


نقول ان الزوج (x; y) زوج إحداثيتي النقط M في المعلم (O;OI;OJ)





إذا وفقط إذا كان OM =xOI+yOJ نكتب (M (x;y .
العدد x يسمى أفصول M .
العدد y يسمى أرتوب M .


-2 إحداثيتا متجهة – تساوي متجهتين:


أ- احداثيتا متجهة:


زوج احداثيثي u في المعلم (O;OI;OJ) هو زوج إحداثيتي النقط M في المعلم (O;OI;OJ) حيث OM = u نكتب ( u (x;y





اذا كان (M (x;y في المعلم (O;OI;OJ) فان زوج احداثيثي u هو (x; y) نكتب (u(x;y .

*خاصية:

المستوى منسوب إلى معلم (O;OI;OJ)

u (x;y و (u'(x';y' متجهتان و α و β عددان حقيقيان
زوج إحداثيتي المتجهة αu + βv




ب- تساوي متجهتين:

*خاصية:

في مستوى منسوب إلى معلم (O;OI;OJ) ،نعتبر (u (x;y و u'(x';y متجهتين.

u=u' اذا وفقط اذا كان x = x' و y=y'

**خاصية:

في مستوى منسوب إلى معلم (O;OI;OJ) ،إذا (A(x;y و ('B(x';y فان ( AB(x'−x;y'−y


3- شرط استقامية متجهتين:



أ- محددة متجهتين:


لتكن (u(x;y و ('v (x ';y متجهتين .

العدد xy'−x'y يسمى محددة المتجهين u و v (في هذا الترتيب) نرمز له ب (det(u;v أو x y
x' y' x

*خاصية:


تكون u و v مستقيميتين إذا وفقط إذا كان det (u;v) =0





تكون u و v غير مستقيميتين إذا وفقط إذا كان det(u;v) ≠0

4 -منظم متجهة:

في مستوى منسوب الى معلم متعامد ممنظم .

إذا كان (u(x;y فان منظم المتجهة u يساوي جذر مجموع مربع الافصول و الارتوب.

II-مستقيم في المستوى:





1- مستقيم معرف بنقطة ومتجهة:

لتكن A نقطة و u متجهة غير منعدمة .
مجموعة النقط M حيث AM=tu ; t∈ IR هي المستقيم المار من A و الموجه ب u نرمز له ب (D (A; u

* إذا كان u و v مستقيميتين فان (D(A;u) =D(A;v

* إذا كان ( B ∈D(A;u فان (D(A;u) =D(B;u
AB موجهة للمستقيم (AB )

-2 تمثيل بارامتري لمستقيم:


مبرهنة وتعريف :


المستوى منسوب الى معلم (O;i ; j ) و (u (α ;β متجهة غير منعدمة و ( A(x0;y0نقطة.


كل مستقيم (D) مار من ( A(x0;y0 وموجه ب ( u (α ;βله نظمة على شكل :

x=x0+tα ; y=y0+tβ





تسمى هذه النظمة تمتيل بارامتري للمستقيم (D ) المار من(A(x0;y0
والموجه ب ( u (α ;β


-3 معادلة ديكارتية لمستقيم:


أ- مستقيم معرف بنقطة و متجهة:


-في مستوى منسوب إلى معلم

كل مستقيم (D) له معادلة على شكل ax + by +c =0 حيث
(a;b) ≠ (0;0)

-في مستوى منسوب إلى معلم مجموعة النقط (M (x;y حيث

ax +by +c =0 و (a;b) ≠ (0;0) هي المستقيم (D) الموجه ب
u(−b;a


المعادلة ax +by +c =0 حيث (a;b) ≠(0;0) تسمى معادلة ديكارتية للمستقيم (D ) الموجه ب (u (−b;a

*ملاحظة:


*لكل عدد حقيقي غير منعدم k , المعادلتان ax +by +c =0 و akx +bky +kc=0 متكافئين , فهما معادلتان لنفس المستقيم.



* للمستقيم مالا نهاية من المعادلات المتكافئة.



ب- حالات خاصة:



* المستقيم القاطع لمحوري المعلم :


يقطع مستقيم (D) محوري معلم في نقطتين مختلفتين (A (a;0 و (B (0;b إذا و
فقط إذا كان للمستقيم (D) معادلة ديكارتية على شكل x/a+x/b=1



حيث a ≠ 0 ; b ≠ 0


* المستقيم الموازي لمحور الأراتيب:


يكون مستقيم مواز لمحور الأراتيب اذا و فقط آان له معادلة من نوع

x = c




ملاحظة:

ليكن (a;b) ≠ (0;0)


تكون ax +by +c =0 معادلة مستقيم مواز لمحور الأراتيب إذا و فقط إذا كان b =0

* المستقيم الموازي لمحور الأفاصيل:

يكون مستقيم مواز لمحور الأراتيب اذا و فقط آان له معادلة من نوع

y =c

* المستقيم غير الموازي لمحور الأراتيب:


(P ) مستوى منسوب إلى معلم

يكون المستقيم (D) غير مواز لمحور الأراتيب إذا وفقط إذا كانت معادلة (D ) على شكل y =mx+p .
-العدد m يسمى المعامل الموجه للمستقيم (D ) .
-المتجهة (u(1;m موجهة للمستقيم (D) .
-المعادلة y =mx+p تسمى المعادلة المختزلة للمستقيم (D) .

*ملاحظة:


إذا كان (u(α ;β موجهة لمستقيم غير مواز لمحور الأراتيب فان المعامل الموجه له هو العدد β/α .



- IIIالأوضاع النسبية لمستقيم:






1 -التوازي:

* ليكن (P) مستوى منسوب إلى معلم (O;i ; j ) و (a;b) ≠(0;0) و
(a';b')≠(0;0) .


نعتبر D2) :a'x+b'y+c' =0 ; (D1):ax+by+c=0)

(D1) // (D2 اذا و فقط اذا كان ab'− a'b =0.

* ليكن (P ) مستوى منسوب إلى معلم (O;i ; j ) و

'D1):y=mx+p ; (D2) :y=m'x+p)
(D1) // (D2 اذا و فقط اذا كان m=m'

2 -التقاطع:


ليكن (P) مستوى منسوب إلى معلم (O;i ; j )


(D1 و (D2) متقاطعان اذا و فقط اذا كان m≠m'
-3 التعامد:

و D1):y=mx+p ; (D2):y=m'x+p)

في مستوى منسوب إلى معلم م.م نعتبر
D):ax +by +c=0 ; (D') :a'x +b'y +c' = 0

(D1 ⊥ (D2 إذا و فقط إذا كان aa'+ bb'=0
حيث (a';b')≠(0;0) ; (a;b)≠(0;0)

الحساب المتجهي



I-تساوي متجهتين – جمع المتجهات:




*تساوي متجهتين:


تكون متجهتان متساويتان اذا آان لهما نفس الاتجاه و نفس المنحى و نفس المنظم .


*المتجهة المنعدمة:


المتجهة المنعدمة 0 : 0 = MM لكل نقطة نقطة M من المستوى .


*خاصيات:


خاصية1:


A و B و C و D أربع نقط من المستوى .

AB=CD إذا وفقط إذا كان للقطعتين [AD] و [BC] نفس المنتصف .

خاصية2:


إذا كانت A و B و C و D أربع نقط غير مستقيمية في المستوى فان :

AB=CD إذا وفقط إذا كان ABDC متوازي الأضلاع .

*نتيجة:


لتكن A و B و C و D أربع نقط من المستوى.

-AB=CD إذا وفقط إذا كان AC=BD (تبديل الوسطين)
-AB=CD إذا وفقط إذا كان DB=CA (تبديل الطرفين)

*مجموع متجهتين –علاقة شال:


-علاقة شال:


مهما كانت النقط A و B و C من المستوى .

AC=AB + BC

-نتيجة:


لتكن O و M و N و R أربع نقط من المستوى .

OM +ON =OR إذا وفقط إذا كان OMRN متوازي الأضلاع .
-خاصيات:

*- لكل متجهتين u وv

u+v=v+u
*-لكل ثلاث متجهات u و v و w .
*- لكل متجهة u
u+0=0+u=u

*مقابل متجهة - فرق متجهتين:

-مقابل متجهة:
لتكن u متجهة غير منعدمة .
مقابل المتجهة u هي المتجهة التي لها نفس الاتجاه و نفس المنظم و منحاها مضاد لمنحى المتجهة u نرمز لها بالرمز -u .

* لكل متجهة u :

u+(-u)=(-u)+u=0
** لكل نقطتين A و B من المستوى لدينا AB+BA=AA=0

-فرق متجهتين:
-لكل متجهتين u و v
u-v=u+(-v

المتجهتان AB و BA متقابلتان نكتب AB= −BA

- لكل ثلاث نقط A و B و C
BC=AC−AB

-منتصف قطعة:


I منتصف [AB] إذا وفقط إذا كان AI=IB

I منتصف [AB] إذا وفقط إذا كان IA +IB=0

II-ضرب متجهة في عدد حقيقي:


u متجهة غير منعدمة و k عدد حقيقي غير منعدم .

جداء المتجهة u في العدد الحقيقي k هي المتجهة ku حيث :
u و ku لهما نفس الاتجاه .
-مهما تكن المتجهتانu و v و مهما يكن العددان الحقيقيان a و b فان :
a(u+v)=au+av
1.u=u
(a+b)u=au+bu
(ab)u=a(bu

au=0 إذا وفقط إذا كان a=0 أو u=0


*الاستقامية:

تكون متجهتان u و v مستقيميتين اذا و فقط كانت احداهما جداء الأخرى في عدد حقيقي .
*ملاحظة:


0 مستقيمية مع أية متجهة.

- خاصية و تعريف:

لتكن A و B و C نقطا من المستوى حيث A ≠ B .


AC=αAB

المتجهتان AB و AC مستقيميتان إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي a حيث



العدد الحقيقي a يسمى أفصول C في المعلم ( A;B) .

-خاصية:

I منتصف [AB] تكافئ AB= 2AI (و تكافئ أيضا AB=2IB)


*استقامية ثلاث نقط:


لتكن A و B و C نقطا من المستوى حيث A ≠ B


AC=αAB

تكون النقط A و B و C مستقيمية إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي a حيث

*توازي مستقيمين:

لتكن A و B و C و D نقطا من المستوى حيث A ≠ B و C≠D


(AB) // (CD إذا و فقط إذا كان AB و CD مستقيميتين .

عموميات حول الدوال العددية








1-تعاريف :

*مجموعة التعريف:

لتكنf دالة عددية لمتغير حقيقي .

مجموعة تعريف الدالة f هي المجموعة المكونة من جميع الأعداد الحقيقية التي تقبل صورة بالدالة f نرمز لها ب Df.

*تساوي دالتين:


لتكن f و g دالتين عدديتين لمتغير حقيقي .

تكون f و g متساويتين اذا وفقط اذا آان لهما نفس مجموعة التعريف D و لكل x من D =>
f (x) =g(x

*التمثيل المبياني لدالة:


لتكن f دالة عددية لمتغير حقيقي .

التمثيل المبياني للدالة f هو مجموعة النقط ((M(x;f (x حيث
x ∈Df نرمز لها بالرمز Cf ={M(x;f(x))/x∈Df


2- الدالة الزوجية:



لتكن f دالة عددية لمتغير حقيقي و Df حيز تعريفها .

نقول ان f دالة زوجية اذا تحقق الشرطان التاليان :
* لكل x من Df
−x ∈Df
* لكل x من Df

f (−x) =f (x



**خاصية:لتكن f دالة عددية و Cf منحناها في مستوى منسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i ; j)



[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]

تكون f دالة زوجية إذا وفقط إذا آان محور الأراتيب محور تماثل للمنحنى Cf .


3-الدالة فردية:


لتكن f دالة عددية لمتغير حقيقي و Df حيز تعريفها .

نقول ان f دالة فردية إذا تحقق الشرطان التاليان :

* لكل x من Df

−x ∈Df
* لكل x من Df
f (−x) = −f(x

**خاصية:


لتكن f دالة عددية و Cf منحناها في مستوى منسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i ; j)


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]

تكون f دالة فردية إذا وفقط إذا آان المنحنى Cf متماثلا بالنسبة لأصل المعلم .

3-تغيرات دالة:

أ-منحى تغيرات دالة:


لتكن f دالة عددية لمتغير حقيقي و I مجال ضمن Df .


-تكون f تزايدية على I إذا و فقط إذا كان لكل x1 و x2 من I إذا كان 2 x1


-تكون f تزايدية قطعا على I إذا و فقط إذا كان لكل x1 و 2x من I إذا كان 2 x1



- تكون f تناقصية على I إذا و فقط إذا كان لكل x1 و x2 من I إذا كان x1



- تكون f تناقصية قطعا على I إذا و فقط إذا كان لكلx1 و x2 من I إذا كان x1f(x2





ب- الدالة الرتيبة:

لتكن f دالة عددية لمتغير حقيقي و I مجال ضمن Df


نقول ان f رتيبة على I إذا و فقط إذا كان f إما تزايدية على I و إما تناقصية على I .

**ملاحظات:

-يمكن لدالة أن تكون غير رتيبة على مجال I .

-دراسة رتابة f على مجال I يعني تجزيء I إلى مجالات تكون فيها f رتيبة. ونلخص الدراسة في جدول يسمى جدول التغيرات .

ج-معدل التغير:


لتكن f دالة عددية لمتغير حقيقي و x و y عنصرين مختلفين من Df .




العدد f(x)-f(y)/x-y يسمى معدل تغير الدالة f بين x و y .
نرمز له ب Tf

*معدل التغير و الرتابة:

لتكن f دالة عددية لمتغير حقيقي و I مجال ضمن Df .


- تكون f تزايدية على I إذا و فقط إذا كان لكل x و y مختلفين من I Tf≥0

-تكون f تزايدية قطعا على I إذا و فقط إذا كان لكل x و y مختلفين من I
Tf>0
-تكون f تناقصية على I إذا و فقط إذا كان لكل x و y مختلفين من I
Tf≤0
-تكون f تناقصية قطعا على I إذا و فقط إذا كان لكل x و y مختلفين من I
Tf<0




د-الرتابة وزوجية دالة:

لتكن f دالة زوجية و I مجال ضمن + Df ∩ IR و J مجال مماثل لI بالنسبة ل 0 (J= {−x/x∈I})

- إذا كانت f تزايدية على I فان f تناقصية على J

- إذا كانت f تناقصية على I فان f تزايدية على J

4-القيمة القصوى – القيمة الدنيا:


لتكن f دالة عددية لمتغير حقيقي

- نقول ان f تقبل قيمة قصوى عند a إذا وجد مجال I ضمن Df و a∈I حيث لكل x ∈I−{a
f(x)

-نقول ان f تقبل قيمة دنيا عند a إذا وجد مجال I ضمن Df و a∈I حيث لكل x ∈I−{a

f(x)>f(a


*خاصية:



ليكن a و b و c أعداد حقيقية حيث a≺b≺c و f دالة عددية لمتغير حقيقي


-إذا كانت f تزايدية على [a;b] و تناقصية على [b;c] فان f تقبل قيمة قصوى عند b .


-إذا كانت f تناقصية على [a;b] و تزايدية على [b;c] فان f تقبل قيمة دنيا عند b .









شلجم
































هذلول

الحساب المثلثي – الجزء 1






1-وحدات قياس الزوايا:

لقياس الزوايا هناك ثلاث وحدات هي الدرجة و الغراد و الراديان.
*الراديان هو قياس زاوية مرآزية، في دائرة شعاعها R تحصر قوسا دائرية طولها R , نرمز لها ب rd أو rad

-نتيجة:

إذا كان x قياس زاوية بالراديان و y قياسها بالدرجة و z قياسها بالغراد فان x/π = y/180 = z/200

*قياس قوس هندسية:

قياس قوس هندسية هو قياس الزاوية المرآزية التي تحصره.
*طول قوس هندسية:
إذا كان a قياس قوس هندسية بالراديان، في دائرة شعاعها R فان طول هذه القوس هو aR




ملاحظة:

طول قوس هندسية، في دائرة شعاعها 1 هو قياس الزاوية المرآزية التي تحصرها .




2-الدائرة المثلثية:

*توجيه دائرة - توجيه مستوى:

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]





أنفسنا أمام منحيين .


لتكن (C) دائرة مركزها Oو شعاعها R و I نقطة من (C)
لو أردنا أن ننطلق من I لندور حول (C) لوجدنا
توجيه الدائرة (C) هو اختيار أحد المنحيين منحى موجبا ( أو مباشرا) و الآخر منحى سالبا ( أو غير مباشر).
عادة نأخذ المنحى الموجب المنحى المعاآس لحرآة عقارب الساعة .
النقطة I تسمى أصل الدائرة (C) .


عندما توجه جميع دوائر المستوى توجيها موحدا فإننا نقول إن المستوى موجه.

*تعريف:

الدائرة المثلثية هي دائرة شعاعها 1 1 مزودة بنقطة أصل و موجهة توجيها موجبا.


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]





3-الأفاصيل المنحنية:





*الأفصول المنحني الرئيسي لنقطة على الدائرة المثلثية:


لتكن (C) دائرة مثلثية أصلها I , نعتبر المجال ]−π ;π ] حيث 0 أفصول I في المحور العمودي على (OI ) حدد محيط الدائرة وشعاع الدائرة.

إذا لففنا القطعة الممثلة للمجال ]−π ;π ] على الدائرة (C) نلاحظ أن آل عدد
a من ]−π ;π ] ينطبق مع نقطة وحيدة M من (C) و كل نقطة M من (C) تمثل عدد
وحيد a من ]−π ;π ].


العدد a يسمى الافصول المنحني الرئيسي ل M .

-خاصية و تعريف;

لتكن (C) دائرة مثلثية أصلها I .




كل نقطة M من (C) تمثل عدد وحيد a من ]−π ;π ] و كل عدد a من ]−π ;π ] يمثل نقطة وحيدة M من (C)
العدد a يسمى الافصول المنحني الرئيسي ل M .

*الأفاصيل المنحنية لنقطة على الدائرة المثلثية:
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]


(OI) ⊥ (Δ).

نعتبر(C) دائرة مثلثية أصلها I .نعتبر المحور (Δ) = D(I,E) حيث




لتكن نقطة M من (C) أفصولها المنحني الرئيسي a لنحدد آل الأعداد التي تنطبق مع M اذا لففنا المستقيم العددي على (C) .
نلاحظ اننا اذا لففنا المستقيم العددي الممثل ل IR على (C) النقطة M
تنطبق مع الأعداد a+4π , a+2π , a , a-2π , a-4π ....




كل هذه الأعداد تسمى الأفاصيل المنحنية لنقطة M
نلاحظ أن هذه الأعداد تكتب بشكل عام عل شكل α + 2kπ حيث k ∈ZI

-تعريف:

لتكن M نقطة من دائرة مثلثية (C) أصلها I .و ليكن a أفصولها المنحني الرئيسي .

كل عدد يكتب على الشكل α + 2kπ بحيث k عنصر من ZI يسمى أفصولا منحنيا للنقطة M .

-خاصية:

-إذا كان x و y أفصولين منحنيين للنقطة M فانه يوجد عنصر λ من ZI بحيث x−y = 2λπ و نكتب x ≡y [2π و نقرأ x يساوي y بترديد 2π .




-إذا كان x أفصول منحني للنقطة M فان جميع الأفاصيل المنحنية للنقطة M تكتب على شكل x + 2kπ حيث k ∈ ZI .





4-الزوايا الموجهة:


*الزاوية الموجهة لنصفي مستقيم:

في المستوى الموجه نعتبر [O;x[ و [O;y[ نصفي مستقيم لهما نفس الأصل . الزوج
([O;x[;[O;y )) يحدد زاوية موجهة لنصفي مستقيم و يرمز لها بالرمز (Ox ;Oy)


-تعريف وخاصية:


لتكن( Ox ;Oy) زاوية موجهة لنصفي مستقيم ، و (C) دائرة مثلثية مركزها

O
A و B نقطتي تقاطع (C) و نصفي مستقيم [O;x[ و [O;y[ على التوالي .
ليكن a و b أفصولين منحنيين للنقطتين A و B على التوالي .
العدد b-a يسمى قياسا للزاوية الموجهة (Ox ;Oy )



كل عدد حقيقي يكتب على الشكل b-a+ 2kπ حيث k ∈ ZI يسمى قياسا للزاوية الموجهة (Ox ;Oy )
نرمز لقياسات الزاوية (Ox ;Oy ) بالرمز (Ox ;Oy ) نكتب Ox;Oy)=β −α +2kπ) و نكتب أيضا Ox;Oy ) ≡ b-a)

-خاصية و تعريف:
لكل زاوية موجهة لنصفي مستقيم قياس وحيد ينتمي إلى المجال ]−π ;π ] يسمى القياس الرئيسي لهذه الزاوية الموجهة.
-إذا كان θ قياس للزاوية الموجهة (Ox ;Oy ) فان θ + 2kπ حيث k ∈ ZI قياس للزاوية .(Ox ;Oy) .
-إذا كان a و b قياسين للزاوية الموجهة (Ox ;Oy ) فان
α −β≡ 2π .

*بعض الزوايا الخاصة:

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]

-الزاوية المنعدمة : (Ox;Ox ) ≡0 [2π ]

- الزاوية المستقيمية :
(Oy;Ox ) ≡ [2π ] (Ox;Oy ) ≡ π [2π ]

-الزاوية القائمة : Ox;Oy ) ≡ π/2



*علاقة شال ونتائجها:


إذا كانت[O;x[ و [O;y[ و [O;z[ ثلاثة أنصاف مستقيم لها نفس الأصل فان
Ox;Oy)+(Oy;Oz)≡(Ox ;Oz ) [2π)
-نتائج:

-اذا كان u و v متجهتين غير منعدمتين فان

(u;v) ≡ −(u;v) [2π ]

-اذا كانت u و v و w ثلاثة متجهات غير منعدمة تحقق :

(u;v) ≡(u;w) [2π ]


فان v و w مستقيميتين ولهما نفس المنحى .



5-النسب المثلثية:

-تعاريف:
لتكن (C) دائرة مثلثية و (O;OI;OJ ) المعلم المتعامد الممنظم المرتبط بها .
لتكن M نقطة من (C) و x أفصولا منحنيا لها . نعتبر C المسقط العمودي ل M
على (OI ) و S المسقط العمودي ل M على (OJ) .
*- العدد الحقيقي أفصول النقطة M في المعلم (O;OI;OJ ) يسمى جيب تمام العدد الحقيقي x نرمز له ب cos x
*- العدد الحقيقي أرتوب النقطة M في المعلم (O;OI;OJ ) يسمى جيب العدد الحقيقي x , نرمز له ب sin x
*- ليكن Δ المماس ل (C ) عند I و النقطة (P(1;1



لتكن T نقطة تقاطع (OM) و Δ أي x≠ π/2+kπ
العدد الحقيقي أفصول T في المعلم (I;P) يسمى ظل العدد الحقيقي x نرمز له ب tan x .

-ملاحظة و اصطلاحات:
- إذا كان x أفصول منحني لنقطة M فان (M (cosx;sinx
-الدالة x→cos x تسمى دالة جيب التمام حيز تعريفها IR يرمز لها ب cos
-الدالة sin x →x تسمى دالة الجيب حيز تعريفها IR يرمز لها ب sin
-الدالة x→ tan x تسمى دالة الظل حيز تعريفها IR-(π/2+kπ;k∈ZI يرمز لها ب tan

-خاصيات:

*- كيفما كان وضع M نقطة من (C) أفصولها منحي x النقطة C تنتمي الى القطعة [II '] و S تنتمي الى [JJ '] حيث (J(0;1) ; I'(−1;0
I(1;0 لكل x من IR
−1≤cosx≤1 ; −1≤sinx≤1

cos2x+ sin2x= 1

tan x = sin x /cos x
*- نعلم أن جميع الأعداد الحقيقية التي تكتب x + 2kπ حيث k ∈ZI


cos(x+2kπ)=cosx; sin x= (x+2kπ

لكل x من IR
لكل x من IR-(π/2+kπ;k∈ZI
أفاصيل منحنية لنفس النقطة M .
لكل x من IR

- مهما كانت (M (x+kπ لدينا أفصول T هو tan x ;

tan(x+kπ)=tanx ; tan (x+π )= tan x


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]



[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]

- الحساب المثلثي – الجزء 2






1-المعادلات المثلثية:

*-المعادلة: cos x = a
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]







S=(π/3+2kπ ; -π/3+2kπ ; k ∈ ZI

مثال : cos x = 1/2
لدينا المستقيم Δ : x=1/2
يقطع الدائرة المثلثية في نقطتين M و M' أفصوليهما المنحنيين الرئيسيين على التوالي هما π/3 و π/3-
بما أن π/3+2kπ بحيث k ∈ ZI هي الأفاصيل المنحنية للنقطة M و π/3+2kπ بحيث k
∈ ZI هي الأفاصيل المنحنية للنقطة M' فإننا نستنتج أن : cos x =1/2
<=> x=π/3+2kπ أو x=-π/3+2kπ
حيث k ∈ ZI
إذن :

*خلاصة:


* المعادلة cos x = a لا تقبل حلا إذا كان a>1 ∨ a<-1

cos x = a إذا وفقط إذا كان x=2kπ
cosx= −1 إذا وفقط إذا كان x=π +2kπ


-* المعادلة sin x = a :


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]




sin x =1/2 <=> x=π/6+2kπ أو 5π/6+2kπ حيث k ∈ ZI

مثال sin x = 1/2 :
لدينا المستقيم Δ : sin x =1/2 يقطع الدائرة المثلثية في نقطتين M و M'
أفصوليهما المنحنيين الرئيسيين على التوالي هما π/6 و π-π/6=5π/6
بما أن π/6+2kπ بحيث k ∈ ZI هي الأفاصيل المنحنية للنقطة M و 5π/6+2kπ بحيث
k ∈ ZI هي الأفاصيل المنحنية للنقطة M' فإننا نستنتج أن :


إذن; (S=(π/6+2kπ ; 5π/6+2kπ ; k ∈ ZI

-خلاصة:

المعادلة sin x = a لا تقبل حلا إذا كان a<1 ∨ a>-1

sin x = 1<=> x=π/2+2kπ
sin x = -1 <=> x = -π/2+2kπ

*المعادلة: tan x = a

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]




(OT ) يقطع الدائرة المثلثية (C) في النقطتين M و M' نعلم أن

حل المعادلة tan x = -1
نعتبر Δ المماس الدائرة المثلثية (C) في أصلها I
نأخد النقطة T من Δ حيث -1 أفصول T في المحور Δ المستقيم
tan(-π/4)=-1



و بالتالي -π/4 أفصول منحني للنقطة M
وبما أن tan(x+kπ )=tanx فان حلول المعادلة هي x=-π/4+kπ;k∈ZI اذن : (S=(-π/4+kπ;k∈ZI


2-المتراجحات المثلثية:


*مثال cos x ≥ 1/2


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]






مجموعة حلول المتراجحة هي مجموعة الأفاصيل المنحنية للنقط (C )

نحل أولا المعادلة cos x = 1/2
بإتباع خطوات حل المعادلات نحصل على cos x =1/2
تكافئ x=π/3 أو x=-π/3.
لتكن (M(π/3 و (M'(-π/3 نقطتين من الدائرة المثلثية

S = (-π/3;π/3

التي تنتمي إلى القوس( M'IM) وهذه المجموعة هي



نفس الطريقة بالنسبة ل ;tan x ; ....sin x

3-الزوايا المحيطية – الرباعيات الدائرية:
*الزاوية المركزية : هي زاوية رأسها مركز الدائرة.
*الزاوية المحيطية : هي زاوية ينتمي رأسها للدائرة وتحصر بين ضلعيها قوسا من هذه الدائرة.

خاصيات:

-قياس زاوية مركزية في دائرة هو ضعف قياس زاوية محيطية تحصر نفس القوس التي تحصره هذه الزاوية المركزية.
-A و B و C ثلاث نقط من دائرة (C) و D نقط مختلفة من المستوى تكون D من الدائرة (C) إذا و فقط إذا كان
ABC + ADC = π ; ABC = ADC
-ليكن ABC مثلثا و R شعاع الدائرة المحيطة به
BC/sin A=AC/sin B=AB/sin B = 2R

-ليكن ABC مثلثا و r شعاع الدائرة المحاطة به و S مساحته P محيطه

S=1/2(BC×AC×sin C

S=1/2P×r

تحويلات في المستوى



i-التماثل المحوري – التماثل المرآزي – الإزاحة:







1-المماثل المركزي:

لتكن i نقطة معلومة و m و m'نقطتين من المستوى .
* نقول إن النقطة m' هي مماثلة النقطة m بالنسبة للنقطة i اذا و فقط اذا تحقق ما يلي:
- إذا كان m = i فان m ' = i
- إذا كان m ≠ i فان i منتصف [mm ']
* العلاقة التي تربط كل نقطة m من المستوى (p) بمماثلتها m' بالنسبة للنقطة i تسمى التماثل المركزي الذي مركزه i نرمز له بالرمز si




نقول إن النقطة m' صورة m بالتماثل المركزي si
نكتب ' si (m) =m أو 'si:m→m
نقول كذلك إن si يحول m إلى m' لذا نقول إن التماثل المركزي si تحويل في المستوى.

ملاحظات:

si (m') =m تكافئ im' = −im

si (i) =i نقول إن النقطة i صامدة بالتماثل المركزي si
si (m') =m تكافئ 'si (m) =m

2-المماثل المحوري:


ليكن (d) مستقيما و m و m' نقطتين من المستوى .

* نقول إن النقطة m' هي مماثلة النقطة m بالنسبة للمستقيم (d) إذا و فقط إذا تحقق ما يلي:
- إذا كان (m ∈(d فان m=m'
- إذا كان (m ∉(d فان (d) واسط [mm ']
* العلاقة التي تربط كل نقطة m من المستوى (p) بمماثلتها m' بالنسبة للمستقيم (d) تسمى التماثل المحوري الذي محوره (d)


s(d) (m) =m' أو 's(d):m→m


نرمز له بالرمز (s(d
نقول إن النقطة m' صورة m بالتماثل المحوري ( s(d نكتب
نقول كذلك إن (s(d يحول m إلى m' لذا نقول إن التماثل المحوري s(d تحويل في المستوى .

ملاحظة:
s(d) (m') =m يكافئ واسط [mm ']

S(d) (n) =n

s(d) (m') =m تكافئ 's(d) (m) =m

لكل نقطة n من d) :
نقول إن جميع نقط المستقيم (d) صامدة بالتماثل المحوري( s(d


3-الإزاحة:


لتكن u متجهة و M و M' نقطتين من المستوى

* نقول إن النقطة M' صورة M بالإزاحة ذات المتجهة u إذا و فقط إذا MM' =u
* العلاقة التي تربط كل نقطة M من المستوى (P) بصورتها M' بالإزاحة ذات المتجهة u تسمى الإزاحة ذات المتجهة u نرمز لها tu .



نكتب 'tu (M) =M
نقول كذلك إن tu يحول M إلى M' لذا نقول إن الإزاحة tu تحويل في المستوى.

-الخاصية المميزة للإزاحة:

*- لتكن M و N و M' و N' نقط من المستوى (P) حيث tu(N')=N ; tu(M')=M




ومنه NN'=u ; MM'=u و بالتالي 'MM'=NN
إذن 'MN =M'N

-ليكن T تحويل في المستوى
يكون T إزاحة إذا و فقط إذا كانت T تحول كل نقطتين M و N من المستوى إلى نقطتين M' و N' حيث 'MN =M'N


4- الاستقامية و التحويلات:



ليكن T أحد التحويلات التالية : الإزاحة –التماثل المركزي – التماثل المحوري

A ; B ; C ; D ; نقط من المستوى
إذا كان T يحول النقط
A ; B ; C ; D بالتوالي إلى النقط 'A' ; B' ; C' ; D



حيث CD = α AB فان 'C'D'=aA'B
نعبر عن هذا بقولنا الإزاحة و التماثل المركزي و التماثل المحوري تحويلات تحافظ على معامل استقامية متجهتين.

* الإزاحة و التماثل المركزي و التماثل المحوري تحافظ على استقامية النقط

*الإزاحة و التماثل المركزي و التماثل المحوري تحويلات تحافظ على المسافة أي إذا كان A' و B' صورتي و A و B



بأحد هذه التحويلات فان 'AB = A'B

5-صورة أشكال بتحويل:

*- صورة مستقيم (D) بتماثل محوري (S(Δ هو مستقيم (D')

*-صورة مستقيم (D) بتماثل مركزي مركزه ينتمي إلى (D) هو المستقيم نفسه .
*-صورة مستقيم (D) بإزاحة متجهتها موجهة ل (D) هو المستقيم نفسه.
*صورة مستقيم (D) بإزاحة أو تماثل مرآزي هو مستقيم (D') يوازيه .
*-صورة دائرة مركزها o و شعاعها r بإزاحة أو تماثل محوري أو تماثل مركزي هو دائرة مركزها o' صورة o و شعاعها r .
*-الإزاحة و التماثل المركزي و التماثل المحوري تحافظ على قياس الزوايا الهندسية.
*-الإزاحة التماثل المركزي و التماثل المحوري تحويلات تحافظ على التعامد و التوازي.
*-محاور تماثل مستقيم هو المستقيم نفسه و جميع المستقيمات العمودية عليه.
*-محاور تماثل دائرة هي حاملات أقطارها.
*- محاور تماثل زاوية هو حامل منصفها.
*- مركز تماثل مستقيم جميع نقطه.
*-مركز تماثل متوازي الأضلاع هو مركزه.
*-مركز تماثل دائرة هي دائرته.

II -التحاكي:


لتكن I نقطة معلومة من المستوى (P) و k عددا حقيقا غير منعدم

العلاقة التي تربط النقطة M بالنقطة M' حيث IM'= k IM تسمى التحاكي الذي مركزه I و نسبته k ونرمز له بالرمز (h(I;k أو h .




نقول ان النقطة M' صورة النقطة M بالتحاكي h و نكتب 'h(M) =M
نقول كذلك h يحول M إلى M'
التحاكي h تحويل في المستوى .


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]

-الخاصية المميزة:
ليكن T تحويل في المستوى و k عدد حقيقي غير منعدم يخالف 1
يكون T تحاك نسبته k إذا و فقط إذا كانت T تحول كل نقطتين M و N من المستوى إلى نقطتين M' و N' حيث 'k MN =M 'N

*-التحاكي لا يحافظ على المسافات.

*-التحاكي يحافظ علي المنتصف.
*-التحاكي يحافظ على قياس الزوايا الهندسية.
*-التحاكي يحافظ استقامية النقط.
*-التحاكي يحافظ على التعامد و التوازي.

الهندسة الفضائية




1-تذكير:

* الرسومات في الفضاء لا تحترم طبيعة الأشكال

* لرسم أشكال في الفضاء نتبع التقنية التالية :


- الخطوط المرئية في الواقع نرسمها بخطوط متصلة

- الخطوط الغير المرئية في الواقع نمثلها بخطوط متقطعة
- المستقيمات المتوازية في الواقع نمثلها بمستقيمات متوازي في الرسم
- النقط المستقيمية تمثل بنقط مستقيمية في الرسم.
- قطعتان متقايستان حاملاهما متوازيان نمثلهما بقطعتين متقايستين حامليهما متوازيين.


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]






رباعي الاوجه

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]




المكعب





2- موضوعات و تعاريف:

الفضاء مجموعة عناصرها تسمى نقط نرمز لها بالرمز (E)


المستقيمات و المستويات أجزاء فعلية من الفضاء

-موضوعة 1:

كل نقطتين مختلقتين A و B في الفضاء تحدد مستقيما وحيد نرمز له ب (AB)

*نقول عن عدة نقط أنها مستقيمية في الفضاء إذا كانت تنتمي إلى نقس المستقيم.
-موضوعة 2:

كل ثلاث نقط غير مستقيمية A و B و C في الفضاء تحدد مستوى وحيد نرمز له ب (ABC) أو (P)

* نقول عن عدة نقط أنها مستوائية في الفضاء إذا كانت تنتمي إلى نفس المستوى.
** نقول عن مستقيمين ( أو مستقيمات ) أنهما مستوئيين( أو مستوائية) إذا كانا ( أو كانوا ) ضمن نفس المستوى.

-موضوعة 3:

إذا انتمت نقطتان مختلفتان من مستقيم (D) إلى مستوى (P) فان (D) ضمن (P)

-ملاحظة هامة:


جميع خاصيات الهندسة المستوية تبقى صالحة في كل مستوى من مستويات الفضاء و كل مستقيم من مستقيماته.


موضوعة 4 :

إذا اشترك مستويان مختلفان في نقطة فانهما يتقاطعان وفق مستقيم يمر من هذه النقطة.
/كل مستقيم ونقطة خارجه يحددان مستوى وحيدا في الفضاء.
//كل مستقيمين متقاطعين في الفضاء يحددان مستوى وحيد في الفضاء.

**للبرهنة على استقامية نقط في الفضاء ، نبحث غالبا على مستويين متقاطعين و نبين أن هذه النقط مشتركة.


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]



* من نقطة معلومة خارج مستقيم يمر مستقيم وحيد يوازيه في الفضاء .



** كل مستقيمين متوازيين قطعا في الفضاء يحددان مستوى وحيدا.


*** إذا احتوى مستويان متقاطعان على مستقيمين متوازيين قطعا فان تقاطعهما هو مستقيم مواز لهذين المستقيمين.


****إذا كان مستقيمان متوازيين في الفضاء فان كل مستقيم يوازي أحدهما يوازي الآخر.


***** إذا كان مستقيمان متوازيين فكل مستوى يقطع أحدهما يقطع الآخر.


* يكون مستقيم (D) موازيا لمستوى (P) إذا و فقط إذا وجد مستقيم ضمن (P) يوازي (D) .


** إذا كان (P)// (Q) فان كل مستقيم ضمن أحدهما يوازي المستوى الآخر.


*** يكون مستويان متوازيين في الفضاء إذا و فقط إذا اشتمل أحدهما على مستقيمين متقاطعين يوازيين المستوى الآخر.


**** إذا وازى مستويان مستوى ثالثا فانهما يكونان متوازيين .


***** من نقطة في الفضاء يمر مستوى و حيد مواز لمستوى معلوم


* مستقيمان متعامدان يمكن أن يكونا غير مستوائيين .


** إذا كان مستقيمان متوازيين فكل مستقيم عمودي على أحدهما يكون عموديا على الآخر.


*** إذا كان مستقيمان متعامدين فكل مستقيم مواز لأحدهما يكون عموديا على الآخر.


**** يمكن لمستقيمين أن يكون عموديين على مستقيم ثالث دون أن يكونا متوازيين.


***** يكون مستقيم (D) عمودي على مستوى (P) إذا و فقط إذا كان المستقيم (D) عمودي على مستقيمين متقاطعين ضمن المستوى (P) .


* إذا كان مستويان متوازيين فان كل مستقيم عمودي على أحدهما يكون عموديا على الآخر.


** إذا كان مستقيمان متوازيين فان كل مستوى عمودي على أحدهما يكون عموديا على الآخر.


*** يكون مستقيمان متعامدين إذا و فقط إذا كان أحدهما عمودبا على مستوى يتضمن الآخر.


**** يكون مستويان متوازيين إذا وفقط إذا آانا عموديين على نفس المستقيم.


***** من كل نقطة في الفضاء يمر مستوى وحيد عمودي على مستقيم معلوم.


* من كل نقطة في الفضاء يمر مستقيم وحيد عمودي على مستوى معلوم .


** إذا تعامد مستويين في الفضاء فلا يعني أن كل مستقيم ضمن أحدهما

عمودي على المستوى الآخر.





[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]







[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]






مفتاح


* : تعريف .

/ : نتيجة.


:_Alshmokh19[1]: